（11）中三次方程的通解可能有四种情况： 三个实根，一个实根和两个复根，一个实根和一个重根、一个实三重根。 这四种可能性对应于直线和交点的不同情况。在本文的例子中，第一个圆锥曲线（4）是不定的，第二个圆锥曲线（5）是双曲线（b>0）。不失一般性，假设第一个是椭圆，并在图3中展示两个圆锥曲线的可能相对位置。 简要起见，以图3b作为示例。两个圆锥曲线有四个实交点，特征三次方程有三个实根，每个实根对应于一对实直线。每对实直线在四个实交点处与两个圆锥曲线中的任何一个相交（图3b）。在其他情况下也存在类似的情况。

图3：双曲线和椭圆相对位置的八种可能情况的图解。具有不同颜色的一对线对应于不同的三次根。(a)-(c): 两个圆锥曲线分别具有零、四和两个实交点的一般情况。(d)-(f): 两个圆锥曲线相切的临界情况，分别有一个二重交点、两个二重交点、一个二重交点和两个交点。(g)-(h): 两个圆锥曲线彼此密切（两个圆锥在切点具有相同的曲率），分别有一个三重交点和一个四重交点

三次方程的根、线的数量和交点之间的关系如表1所示。

表1：三次方程的根、退化圆锥曲线的直线数和两个圆锥曲线交点之间的关系。1D、1T和1Q分别表示一个二重交点、一个三重交点和一个四重交点

假设三次方程（11）可以写成

进行变量替换可得关于的沮丧三次方程(没有二次项)

其中

(30)的判别式为：

• 若,（30）有三个不同的实根，其对应于情况（a）和（b）。对于情况（a），由于所有的实根都不对应于任何实交点，我们可以选择三个根中的任何一个。使用三角解找到根,该根可以对应于一对实线，也可以不对应于实线。如果选择的实根给出一对实线，可以在验证第一条直线没有实交点后跳过第二条直线。对于情况（b），三个根中的任何一个都将产生一对实线和四个实交点。
• 若,（30）具有一个实根和两个共轭复根，这对应于情况（c）。使用Cardano公式可以找到实根，并且可以得到一对实直线。如果其中第一条直线与圆锥曲线有实交点，则可以跳过第二条直线。否则，如果第一条直线没有实交点，就需要检查第二条直线。
• 若且,则（30）有一个单实根和一个重实根，这对应于情况（d）、（e）和（f）。对于情况（d），可以看到重实根在虚直线中产生。因此，对于这种情况，可以使用单实数根。
• 若且，则。在这种情况下，方程（30）有三重根γ，这对应于情况（g）和（h）。三次方的实根给出了一对实线，并且可以很容易地找到实交点。

基于以上分析和表1，可以注意到，可以使用任何一对实线来恢复实交点，并且除了情况（d）之外，三次方程的任何实根都对应于一对实直线。只需要在且时避免使用重实根。 另一方面，如果，则这对直线和圆锥曲线之间一定有双重交点。为了避免重复的解，需要检查直线和圆锥曲线之间的交点。整个过程如算法1所示。

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