本文仅对一些常见的优化方法进行直观介绍和简单的比较，各种优化方法的详细内容及公式只好去认真啃论文了，在此我就不赘述了。

此处的SGD指mini-batch gradient descentm，关于batch gradient descent、 stochastic gradient descent 以及 mini-batch gradient descent的具体区别就不细说了。现在的SGD一般都指mini-batch gradient descent。SGD就是每一次迭代计算mini-batch的梯度，然后对参数进行更新，是最常见的优化方法了。即：其中，是学习率，是梯度SGD完全依赖于当前batch的梯度，所以可以理解为允许当前的batch的梯度多大程度影响参数更新。哭缺点（正因为有这些缺点才让这么多大神发展出了后续的各种算法）：· 选择合适的learning rate比较困难 - 对所有的参数更新使用同样的learning rate。对于稀疏数据或者特征，有时我们可能想更新快一些对于不经常出现的特征，对于常出现的特征更新慢一些，这时候SGD就不太能满足要求了。· SGD容易收敛到局部最优，并且在某些情况下可能被困在鞍点。

momentum是模拟物理里动量的概念，积累之前的动量来替代真正的梯度。公式如下：其中，是动量因子。特点：· 下降初期时，使用上一次参数更新，下降方向一致，乘上较大的能够进行很好的加速。· 下降中后期时，在局部最小值来回震荡的时候，，使得更新幅度增大，跳出陷阱。· 在梯度改变方向的时候，能够减少更新，总而言之，momentum项能够在相关方向加速SGD，抑制振荡，从而加快收敛。

nesterov项在梯度更新时做一个校正，避免前进太快，同时提高灵敏度。将上一节中的公式展开可得：可以看出，并没有直接改变当前梯度，所以Nesterov的改进就是让之前的动量直接影响当前的动量。即：所以，加上nesterov项后，梯度在大的跳跃后，进行计算对当前梯度进行校正。如下图：
momentum首先计算一个梯度(短的蓝色向量)，然后在加速更新梯度的方向进行一个大的跳跃(长的蓝色向量)，nesterov项首先在之前加速的梯度方向进行一个大的跳跃(棕色向量)，计算梯度然后进行校正(绿色梯向量)。其实，momentum项和nesterov项都是为了使梯度更新更加灵活，对不同情况有针对性。但是，人工设置一些学习率总还是有些生硬，接下来介绍几种自适应学习率的方法。

Adagrad其实是对学习率进行了一个约束。即：

此处，对从1到进行一个递推形成一个约束项regularizer，，用来保证分母非0。

特点：· 前期较小的时候，regularizer较大，能够放大梯度。· 后期较大的时候，regularizer较小，能够约束梯度。· 适合处理稀疏梯度。缺点：· 由公式可以看出，仍依赖于人工设置一个全局学习率。· 设置过大的话，会使regularizer过于敏感，对梯度的调节太大。· 中后期，分母上梯度平方的累加将会越来越大，使，使得训练提前结束。05  AdadeltaAdadelta是对Adagrad的扩展，最初方案依然是对学习率进行自适应约束，但是进行了计算上的简化。Adagrad会累加之前所有的梯度平方，而Adadelta只累加固定大小的项，并且也不直接存储这些项，仅仅是近似计算对应的平均值。即：在此处Adadelta其实还是依赖于全局学习率的，但是作者做了一定处理，经过近似牛顿迭代法之后：

其中，代表求期望。
此时，可以看出Adadelta已经不用依赖于全局学习率了。
特点：· 训练初中期，加速效果不错，很快· 训练后期，反复在局部最小值附近抖动

RMSprop可以算作Adadelta的一个特例，当=0.5时：就变为了求梯度平方和的平均数。如果再求根的话，就变成了RMS(均方根)：此时，这个RMS就可以作为学习率的一个约束：
特点：· 其实RMSprop依然依赖于全局学习率。· RMSprop算是Adagrad的一种发展，和Adadelta的变体，效果趋于二者之间。· 适合处理非平稳目标 - 对于RNN效果很好。

Adam(Adaptive Moment Estimation)本质上是带有动量项的RMSprop，它利用梯度的一阶矩估计和二阶矩估计动态调整每个参数的学习率。Adam的优点主要在于经过偏置校正后，每一次迭代学习率都有个确定范围，使得参数比较平稳。公式如下：其中，、分别是对梯度的一阶矩估计和二阶矩估计，可以看作对期望、的估计；、是对、的校正，这样可以近似为对期望的无偏估计。可以看出，直接对梯度的矩估计对内存没有额外的要求，而且可以根据梯度进行动态调整，而 对学习率形成一个动态约束，而且有明确的范围。特点：· 结合了Adagrad善于处理稀疏梯度和RMSprop善于处理非平稳目标的优点。· 对内存需求较小。· 为不同的参数计算不同的自适应学习率。· 也适用于大多非凸优化 - 适用于大数据集和高维空间。

Adamax是Adam的一种变体，此方法对学习率的上限提供了一个更简单的范围。公式上的变化如下：可以看出，Adamax学习率的边界范围更简单。

Nadam类似于带有Nesterov动量项的Adam。公式如下：可以看出，Nadam对学习率有了更强的约束，同时对梯度的更新也有更直接的影响。一般而言，在想使用带动量的RMSprop，或者Adam的地方，大多可以使用Nadam取得更好的效果。

· 对于稀疏数据，尽量使用学习率可自适应的优化方法，不用手动调节，而且最好采用默认值。· SGD通常训练时间更长，但是在好的初始化和学习率调度方案的情况下，结果更可靠。· 如果在意更快的收敛，并且需要训练较深较复杂的网络时，推荐使用学习率自适应的优化方法。· Adadelta，RMSprop，Adam是比较相近的算法，在相似的情况下表现差不多。· 在想使用带动量的RMSprop，或者Adam的地方，大多可以使用Nadam取得更好的效果。
最后展示两张比较厉害的图，一切尽在图中......损失平面等高线在鞍点处的比较

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